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calculs de sommes de diviseurs et suites aliquotes

Il y a plusieurs concepts de sommes de diviseurs d’un nombre donné.

 On peut calculer la somme des facteurs premiers, comme semble le faire ici Ivan Panin :

 http://www.biblebelievers.org.au/panin.htm#The%20Inspiration%20of%20the%20Scriptures%20Scientifically%20Demonstrated

 ceci correspond à cette suite de Sloane :

 http://mathworld.wolfram.com/SumofPrimeFactors.html

 http://oeis.org/A001414

 cette fonction est parfois appelée logarithme entier de n

 La somme des diviseurs propres , premiers ou pas, appelés « parties aliquotes » (les diviseurs propres de n excluent n lui même) , peut être calculée ici, et itérée en ce qui est appelée « suite aliquote » :

 http://factordb.com/sequences.php?se=1&aq=813&action=last20&fr=0&to=100

 http://math.fau.edu/richman/mla/aliquot.htm

 le premier site est nettement plus performant que le second.

 prenons l’exemple de 813 :

 

1.   s(813)   =   275           3 271
2.   s(275)   =   97           52 11
3.   s(97)   =   1           97

 la somme des diviseurs est :

 s(813) = 1 + 3 + 271 = 275

 la somme itérée se poursuit en additionnant les sommes successives jusqu’à ce que l’on aboutisse à 1 :

 Σ (813) = 275 + 97 + 1 = 373

 on peut automatiser le calcul par un quelconque logiciel mathématique, par exemple Mathematica , ceci se fait par la commande (toujours avec l’exemple de 813):

 

km = RecurrenceTable[{a[n+1]== DivisorSigma[1, a[n]] – a[n],a[1]==813},a,{n,1,4}]

qui sort :

{813,275,97,1}

puis :

Total[km] – 813

qui donne bien 373

pour connaître le domaine de variation du n (et d’abord pour savoir si ça converge) on fait une première recherche par factordb :

http://factordb.com/sequences.php?se=1&aq=813&action=all&fr=0&to=100

 

 
Checked 0 3 (show) 813 = 3 · 271
Checked, new 1 3 (show) 275 = 5^2 · 11
Checked, new 2 2 (show) 97 = 97
 

Mathematica permet aussi de calculer les sommes de carrés, cubes, et puissances supérieures, des diviseurs d’un nombre, par exemple :

DivisorSigma[2, 813] = 1 ^2 + 3 ^2 + 271 ^2 + 813 ^2  = 734420

DivisorSigma[3,813] = 557270336

etc..

là encore on peut calculer des sommes itérées, mais cela peut diverger très vite et bloquer l’ordinateur, il faut donc procéder par tâtonnements et commencer avec des valeurs n d’itérations petites

La commande pour le calcul de sommes itérées de carrés des diviseurs est par exemple :

RecurrenceTable[{a[n+1]== DivisorSigma[2, a[n]] – (a[n] ^2 ) ,a[1]==813},a,{n,1,4}]

qui sort :

{813,73451,112352501,4049761122799}

à noter un résultat remarquable concernant les deux nombres 39 et 93 dont le produit est le nombre 3627 valeur de la gematria du premier verset de l’Evangile de Jean :

39 x 93 = 3627 (premier verset de l’Evangile de Jean)

37 x 73 = 2701 = vs 73 = 1 + 2 + … + 73 (premier verset de la Torah)

2701 + 3627 = 6328 = vs 112 = 1 + 2 + 3 + … + 112

voir :

http://www.biblemaths.com/pag04_lect/seven.pdf

en appliquant le programme de calcul de sommes itérées des carrés de diviseurs à 39 et 93 on trouve :

RecurrenceTable[{a[n+1]== DivisorSigma[2, a[n]] – (a[n] ^2 ) ,a[1]==39},a,{n,1,3}]

qui sort :

{39,179,1}

dont le total est 219 = 3 x 73

et pour 93 :

 

RecurrenceTable[{a[n+1]== DivisorSigma[2, a[n]] – (a[n] ^2 ) ,a[1]==93},a,{n,1,3}]

qui sort :

{93,971,1}

dont le total est 1065

même nombre d’itérations avant la convergence (n = 3) et 179 et 971 sont « en miroir »

 

factorisation des nombres entiers

Pour trouver les facteurs premiers d’un entier (très grand, sinon c’est un excellent « footing » mental de les calculer de tête) il y a plusieurs solutions sur le web :

si l’on dispose de Mathematica la commande est (en prenant l’exemple de 666) :

FactorInteger[666]

qui sort :

{{2,1},{3,2},{37,1}}

qui se lit aisément : le premier nombre dans les {} est le facteur premier, le second est son exposant

mais il est plus pratique d’utiliser :

http://factordb.com/

j’avais commencé à l’utiliser pour les grands nombres formés uniquement de chiffres 6 : 666,6666,666666, etc..

mais il est plus simple de le faire pour les nombres composés de chiffres 1, puisque les premiers sont les produits des seconds par 6.

Nous obtenons :

111 = 3 x 37

1111 = 11 x 101

11111 = 41 x 271

111111 = 3 x 7 x 11 x 13 x 37

1111111 = 239 x 4649

11111111 = 11 x 73 x 101 x 137

111111111 = 3^2 x 37 x 333667

1111111111 = 11 x 41 x 271 x 9091

11111111111 =  21649 x  513239

111111111111 = 3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 101 · 9901  (le point signifie x , je recopie directement la sortie de factordb)

1111111111111 = 53 · 79 · 265371653

11111111111111 = 11 · 239 · 4649 · 909091 = 1111111  x  11  x  909091

111111111111111 =  3 · 31 · 37 · 41 · 271 · 2906161

1111111111111111 = 11 · 17 · 73 · 101 · 137 · 5882353

11111111111111111 = 2071723 · 5363222357

111111111111111111 = 3^2 · 7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 52579 · 333667

que suit le nombre composé de 19 chiffres 1, qui s’avère être premier (voilà qui va faire bander les islamistes obsédés par le nombre 19, comme Edip Yuksel et les autres !!)

ainsi , si l’on compte 1 à part de la suite des nombres premiers, comme c’est la tradition depuis un siècle, les deux nombres composés de chiffres 1 qui sont premiers sont , en dessous de vingt chiffres :

11 et 1111111111111111111 (19 fois 1)

quels sont ceux qui suivent et qui sont premiers aussi ?

il y a le nombre composé de 23 chiffres 1

celui de 24 chiffres a une factorisation remarquable, avec de nouveau un nombre premier composé de 9 et de 0 et de 1 :

 3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 73 · 101 · 137 · 9901 · 99990001

de même celui de 36 chiffres 1, qui se factorise :

3^2 · 7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 101 · 9901 · 52579 · 333667 · 999999000001

celui composé de 38 chiffres 1 a comme facteur le nombre premier composé de 19 chiffres 1, et un autre composé de 18 chiffres qui sont uniquement des 9 , des 0 et des 1 :

 11 · 909090909090909091<18> · 1111111111111111111

pour le nombre  de 39 chiffres, c’est un facteur premier composé de 24 chiffres, uniquement des 9 , des 0 et des 1, qui apparaît :

 3 · 37 · 53 · 79 · 265371653 · 900900900900990990990991

celui composé de 46 chiffres 1 a comme facteur le second nombre premier que nous ayions trouvé, celui composé de 23 chiffres 1 :

11 · 47 · 139 · 2531 · 549797184491917<15> · 11111111111111111111111

celui composé de 57 chiffres 1 a comme facteur celui composé de 19 chiffres 1 (et bien sûr on a aussi 57 = 3 x 19 , de même que 46 = 2 x 23 et 38 = 2 x 19) :

3 · 37 · 21319 · 10749631 · 1111111111111111111<19> · 3931123022305129377976519

de même celui de 69 chiffres se factorise par celui de 23 chiffres 1, et 69 = 3 x 23, il semble bien que l’on ait ici une loi générale, à élucider :

 3 · 37 · 277 · 203864078068831<15> · 11111111111111111111111<23> · 1595352086329224644348978893

j’ai poursuivi jusqu’au nombre composé de 184 chiffres 1 pour constater qu’ aucun nombre jusque là n’est premier, après 11 et les deux nombres composés de 19 et de 23 chiffres 1 !!!

en fait, selon Sloane, le prochain qui soit premier est composé de 317 chiffres 1 :

 http://oeis.org/A004022

voir aussi la suite des « repunits » :

http://oeis.org/A002275

la suite des « repunits » qui sont premiers est ici, mais sous la forme de leurs indices (sinon ils seraient évidemment trop longs) :

http://oeis.org/A004023

il est facile de montrer, et c’est fait sur la page précédente, que ces indices doivent être des nombres premiers.

voir aussi :

http://oeis.org/A046413

gematria du grec inspirée d’Abellio

α             1

β             2

γ              3

δ             4

ε              5

ζ              6

η             8

θ             9

ι            10

κ           12

λ           15

μ          18

ν          20

ξ          24

ο         30

π         36

ρ         40

σ         45

τ          60

υ          72

φ         90

χ         120

ψ        180

ω        360

Ἐν ἀρχῇ ἦν ὁ λόγος, καὶ ὁ λόγος ἦν πρὸς τὸν θεόν, καὶ θεὸς ἦν ὁ λόγος.

Ἐν = 5 + 20 = 25

ἀρχῇ = 1 + 40 + 120 + 8 = 169   (ou 179 en comptant le iota souscrit)

ἦν + 8 + 20 = 28

ὁ = 30

λόγος = 15 + 30 + 3 + 30 + 45 = 123

καὶ = 12 + 1 + 10 = 23

ὁ λόγος = 153

 ἦν = 28

πρὸς = 36 + 40 + 30 + 45 = 151

τὸν = 60 + 30 + 20 = 110

θεόν = 9 + 5 + 30 + 20 = 64

 καὶ = 23

θεὸς = 89

ἦν = 28

ὁ λόγος = 153

Total = 1197

http://factordb.com/sequences.php?se=1&aq=1197&action=all&fr=0&to=100

1197 = 3 x 3 x 7 x 19

s(1197 ) = 883 qui est le 153 ème nombre premier

A noter que

1197 = 7 x 171

et que nous avons déjà croisé ici 171 = vs 18 = 1 + 2 + … + 18  :

https://arithmosophia.wordpress.com/2012/02/22/gematria-par-rang-du-grec-le-premier-verset-de-levangile-de-jean/

gematria par rang du grec : le premier verset de l’Evangile de Jean

α             1

β             2

γ              3

δ             4

ε              5

ζ              6

η             7

θ             8

ι              9

κ           10

λ           11

μ          12

ν          13

ξ          14

ο         15

π         16

ρ         17

σ         18

τ          19

υ          20

φ         21

χ         22

ψ        23

ω        24

0  λογος  = 45 + 18 + 11 + 3 = 77

εν αρχη ην ο λογος  = 18 + 47 + 20 + 77 = 162

mais si l’on compte le iota souscrit comme valant 9 on obtient :

171 = vs 18

Ἐν ἀρχῇ ἦν ὁ λόγος, καὶ ὁ λόγος ἦν πρὸς τὸν θεόν, καὶ θεὸς ἦν ὁ λόγος.

 

Au commencement était la Parole, et la Parole était avec Dieu, et la Parole était Dieu

 

Valeur totale du verset :

Valeur dans le code traditionnel :

3627 = 39 x 93

http://www.biblewheel.com/gr/GR_Database.asp?bnum=43&cnum=1&vnum=1&SourceTxt=SCR&getverse=Go

texte et traduction :

http://ba.21.free.fr/ntgf/jean/jean_1_gf.html

Ἐν ἀρχῇ ἦν ὁ λόγος, καὶ ὁ λόγος ἦν πρὸς τὸν θεόν, καὶ θεὸς ἦν ὁ λόγος.

Ἐν ἀρχῇ ἦν ὁ λόγος = 171 = vs 18 = 1 + 2 + 3 + … + 18

dans le nouveau code.

καὶ ὁ λόγος = 20 + 77 = 97

ἦν = 20

πρὸς = 15 + 16 + 17 + 18 = 66

τὸν = 47

θεόν = 41

καὶ θεὸς = 20 + 46 = 66

ἦν ὁ λόγος = 20 + 77 = 97

Total des 52 lettres et 17 mots du verset :

171 + 97 + 20 + 66 + 47 + 41 + 66 + 97 = 605 = 5 x 11 x 11 = 11 x 55

noter les sommes intermédiaires :

171 + 97 + 20 = 288

171 + 97 + 20 + 66 + 47 = 401

 calcul des sommes de diviseurs de 605 :

http://math.fau.edu/richman/mla/aliquot.htm

1.   s(605)   =   193           5 112
2.   s(193)   =   1           193

 

s(605 ) = 193

193  est le 44 ème nombre premier

http://oeis.org/A000040/b000040.txt