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calculs de sommes de diviseurs et suites aliquotes

Il y a plusieurs concepts de sommes de diviseurs d’un nombre donné.

 On peut calculer la somme des facteurs premiers, comme semble le faire ici Ivan Panin :

 http://www.biblebelievers.org.au/panin.htm#The%20Inspiration%20of%20the%20Scriptures%20Scientifically%20Demonstrated

 ceci correspond à cette suite de Sloane :

 http://mathworld.wolfram.com/SumofPrimeFactors.html

 http://oeis.org/A001414

 cette fonction est parfois appelée logarithme entier de n

 La somme des diviseurs propres , premiers ou pas, appelés « parties aliquotes » (les diviseurs propres de n excluent n lui même) , peut être calculée ici, et itérée en ce qui est appelée « suite aliquote » :

 http://factordb.com/sequences.php?se=1&aq=813&action=last20&fr=0&to=100

 http://math.fau.edu/richman/mla/aliquot.htm

 le premier site est nettement plus performant que le second.

 prenons l’exemple de 813 :

 

1.   s(813)   =   275           3 271
2.   s(275)   =   97           52 11
3.   s(97)   =   1           97

 la somme des diviseurs est :

 s(813) = 1 + 3 + 271 = 275

 la somme itérée se poursuit en additionnant les sommes successives jusqu’à ce que l’on aboutisse à 1 :

 Σ (813) = 275 + 97 + 1 = 373

 on peut automatiser le calcul par un quelconque logiciel mathématique, par exemple Mathematica , ceci se fait par la commande (toujours avec l’exemple de 813):

 

km = RecurrenceTable[{a[n+1]== DivisorSigma[1, a[n]] – a[n],a[1]==813},a,{n,1,4}]

qui sort :

{813,275,97,1}

puis :

Total[km] – 813

qui donne bien 373

pour connaître le domaine de variation du n (et d’abord pour savoir si ça converge) on fait une première recherche par factordb :

http://factordb.com/sequences.php?se=1&aq=813&action=all&fr=0&to=100

 

 
Checked 0 3 (show) 813 = 3 · 271
Checked, new 1 3 (show) 275 = 5^2 · 11
Checked, new 2 2 (show) 97 = 97
 

Mathematica permet aussi de calculer les sommes de carrés, cubes, et puissances supérieures, des diviseurs d’un nombre, par exemple :

DivisorSigma[2, 813] = 1 ^2 + 3 ^2 + 271 ^2 + 813 ^2  = 734420

DivisorSigma[3,813] = 557270336

etc..

là encore on peut calculer des sommes itérées, mais cela peut diverger très vite et bloquer l’ordinateur, il faut donc procéder par tâtonnements et commencer avec des valeurs n d’itérations petites

La commande pour le calcul de sommes itérées de carrés des diviseurs est par exemple :

RecurrenceTable[{a[n+1]== DivisorSigma[2, a[n]] – (a[n] ^2 ) ,a[1]==813},a,{n,1,4}]

qui sort :

{813,73451,112352501,4049761122799}

à noter un résultat remarquable concernant les deux nombres 39 et 93 dont le produit est le nombre 3627 valeur de la gematria du premier verset de l’Evangile de Jean :

39 x 93 = 3627 (premier verset de l’Evangile de Jean)

37 x 73 = 2701 = vs 73 = 1 + 2 + … + 73 (premier verset de la Torah)

2701 + 3627 = 6328 = vs 112 = 1 + 2 + 3 + … + 112

voir :

http://www.biblemaths.com/pag04_lect/seven.pdf

en appliquant le programme de calcul de sommes itérées des carrés de diviseurs à 39 et 93 on trouve :

RecurrenceTable[{a[n+1]== DivisorSigma[2, a[n]] – (a[n] ^2 ) ,a[1]==39},a,{n,1,3}]

qui sort :

{39,179,1}

dont le total est 219 = 3 x 73

et pour 93 :

 

RecurrenceTable[{a[n+1]== DivisorSigma[2, a[n]] – (a[n] ^2 ) ,a[1]==93},a,{n,1,3}]

qui sort :

{93,971,1}

dont le total est 1065

même nombre d’itérations avant la convergence (n = 3) et 179 et 971 sont « en miroir »

 

gematria par rang du grec : le premier verset de l’Evangile de Jean

α             1

β             2

γ              3

δ             4

ε              5

ζ              6

η             7

θ             8

ι              9

κ           10

λ           11

μ          12

ν          13

ξ          14

ο         15

π         16

ρ         17

σ         18

τ          19

υ          20

φ         21

χ         22

ψ        23

ω        24

0  λογος  = 45 + 18 + 11 + 3 = 77

εν αρχη ην ο λογος  = 18 + 47 + 20 + 77 = 162

mais si l’on compte le iota souscrit comme valant 9 on obtient :

171 = vs 18

Ἐν ἀρχῇ ἦν ὁ λόγος, καὶ ὁ λόγος ἦν πρὸς τὸν θεόν, καὶ θεὸς ἦν ὁ λόγος.

 

Au commencement était la Parole, et la Parole était avec Dieu, et la Parole était Dieu

 

Valeur totale du verset :

Valeur dans le code traditionnel :

3627 = 39 x 93

http://www.biblewheel.com/gr/GR_Database.asp?bnum=43&cnum=1&vnum=1&SourceTxt=SCR&getverse=Go

texte et traduction :

http://ba.21.free.fr/ntgf/jean/jean_1_gf.html

Ἐν ἀρχῇ ἦν ὁ λόγος, καὶ ὁ λόγος ἦν πρὸς τὸν θεόν, καὶ θεὸς ἦν ὁ λόγος.

Ἐν ἀρχῇ ἦν ὁ λόγος = 171 = vs 18 = 1 + 2 + 3 + … + 18

dans le nouveau code.

καὶ ὁ λόγος = 20 + 77 = 97

ἦν = 20

πρὸς = 15 + 16 + 17 + 18 = 66

τὸν = 47

θεόν = 41

καὶ θεὸς = 20 + 46 = 66

ἦν ὁ λόγος = 20 + 77 = 97

Total des 52 lettres et 17 mots du verset :

171 + 97 + 20 + 66 + 47 + 41 + 66 + 97 = 605 = 5 x 11 x 11 = 11 x 55

noter les sommes intermédiaires :

171 + 97 + 20 = 288

171 + 97 + 20 + 66 + 47 = 401

 calcul des sommes de diviseurs de 605 :

http://math.fau.edu/richman/mla/aliquot.htm

1.   s(605)   =   193           5 112
2.   s(193)   =   1           193

 

s(605 ) = 193

193  est le 44 ème nombre premier

http://oeis.org/A000040/b000040.txt

 

Ivan Panin : démonstration de l’inspiration divine de la Bible

http://www.biblebelievers.org.au/panin.htm#The%20Inspiration%20of%20the%20Scriptures%20Scientifically%20Demonstrated

« The first 17 verses of the New Testament contain the genealogy of the Christ. It consists of two main parts: Verses 1-11 cover the period from Abraham, the father of the chosen people, to the Captivity, when they ceased as an independent people. Verses 12-17 cover the period from the Captivity to the promised Deliverer, the Christ.

Let us examine the first part of this genealogy.

Its vocabulary has 49 words, or 7 x 7. This number is itself seven (Feature 1) sevens (Feature 2), and the sum of its factors is 2 sevens (Feature 3). Of these 49 words 28, or 4 sevens, begin with a vowel; and 21, or 3 sevens, begin with a consonant (Feature 4).

Again: these 49 words of the vocabulary have 266 letters, or 7 x 2 x 19; this number is itself 38 sevens (Feature 5), and the sum of its factors is 28, or 4 sevens (Feature 6), while the sum of its figures is 14, or 2 sevens (Feature 7). Of these 266 letters, moreover, 140, or 20 sevens, are vowels, and 126, or 18 sevens, are consonants (Feature 8).

That is to say: Just as the number of words in the vocabulary is a multiple of seven, so is the number of its letters a multiple of seven; just as the sum of the factors of the number of the words is a multiple of seven, so is the sum of the factors of the number of their letters a multiple of seven. And just as the number of words is divided between vowel words and consonant words by sevens, so is their number of letters divided between vowels and consonants by sevens.

Again: Of these 49 words 35, or 5 sevens, occur more than once in the passage; and 14, or 2 sevens, occur but once (Feature 9); seven occur in more than one form, and 42, or 6 sevens, occur in only one form (Feature 10). And among the parts of speech the 49 words are thus divided: 42, or 6 sevens, are nouns, seven are not nouns (Feature 12). Of the nouns 35 or 5 sevens, are Proper names, seven are common nouns (Feature 12). Of the Proper names 28 are male ancestors of the Christ, and seven are not (Feature 13).

Moreover, these 49 words are distributed alphabetically thus: Words under A-E are 21 in number, or 3 sevens; Z-K 14, or 2 sevens; M-X also 14. No other groups of sevens stopping at the end of a letter are made by these 49 words, the groups of sevens stop with these letters and no others. But the letters A, E, Z, K, M, X, are letters 1, 5, 6, 10, 12, 22, of the Greek alphabet, and the sum of these numbers (called their Place Values) is 56, or 8 sevens (Feature 14). »

les 17 versets dont il parle sont ceux de l’Evangile de Matthieu, en grec:

http://ba.21.free.fr/ntgf/matthieu/matthieu_1_gf.html