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calculs de sommes de diviseurs et suites aliquotes

Il y a plusieurs concepts de sommes de diviseurs d’un nombre donné.

 On peut calculer la somme des facteurs premiers, comme semble le faire ici Ivan Panin :

 http://www.biblebelievers.org.au/panin.htm#The%20Inspiration%20of%20the%20Scriptures%20Scientifically%20Demonstrated

 ceci correspond à cette suite de Sloane :

 http://mathworld.wolfram.com/SumofPrimeFactors.html

 http://oeis.org/A001414

 cette fonction est parfois appelée logarithme entier de n

 La somme des diviseurs propres , premiers ou pas, appelés « parties aliquotes » (les diviseurs propres de n excluent n lui même) , peut être calculée ici, et itérée en ce qui est appelée « suite aliquote » :

 http://factordb.com/sequences.php?se=1&aq=813&action=last20&fr=0&to=100

 http://math.fau.edu/richman/mla/aliquot.htm

 le premier site est nettement plus performant que le second.

 prenons l’exemple de 813 :

 

1.   s(813)   =   275           3 271
2.   s(275)   =   97           52 11
3.   s(97)   =   1           97

 la somme des diviseurs est :

 s(813) = 1 + 3 + 271 = 275

 la somme itérée se poursuit en additionnant les sommes successives jusqu’à ce que l’on aboutisse à 1 :

 Σ (813) = 275 + 97 + 1 = 373

 on peut automatiser le calcul par un quelconque logiciel mathématique, par exemple Mathematica , ceci se fait par la commande (toujours avec l’exemple de 813):

 

km = RecurrenceTable[{a[n+1]== DivisorSigma[1, a[n]] – a[n],a[1]==813},a,{n,1,4}]

qui sort :

{813,275,97,1}

puis :

Total[km] – 813

qui donne bien 373

pour connaître le domaine de variation du n (et d’abord pour savoir si ça converge) on fait une première recherche par factordb :

http://factordb.com/sequences.php?se=1&aq=813&action=all&fr=0&to=100

 

 
Checked 0 3 (show) 813 = 3 · 271
Checked, new 1 3 (show) 275 = 5^2 · 11
Checked, new 2 2 (show) 97 = 97
 

Mathematica permet aussi de calculer les sommes de carrés, cubes, et puissances supérieures, des diviseurs d’un nombre, par exemple :

DivisorSigma[2, 813] = 1 ^2 + 3 ^2 + 271 ^2 + 813 ^2  = 734420

DivisorSigma[3,813] = 557270336

etc..

là encore on peut calculer des sommes itérées, mais cela peut diverger très vite et bloquer l’ordinateur, il faut donc procéder par tâtonnements et commencer avec des valeurs n d’itérations petites

La commande pour le calcul de sommes itérées de carrés des diviseurs est par exemple :

RecurrenceTable[{a[n+1]== DivisorSigma[2, a[n]] – (a[n] ^2 ) ,a[1]==813},a,{n,1,4}]

qui sort :

{813,73451,112352501,4049761122799}

à noter un résultat remarquable concernant les deux nombres 39 et 93 dont le produit est le nombre 3627 valeur de la gematria du premier verset de l’Evangile de Jean :

39 x 93 = 3627 (premier verset de l’Evangile de Jean)

37 x 73 = 2701 = vs 73 = 1 + 2 + … + 73 (premier verset de la Torah)

2701 + 3627 = 6328 = vs 112 = 1 + 2 + 3 + … + 112

voir :

http://www.biblemaths.com/pag04_lect/seven.pdf

en appliquant le programme de calcul de sommes itérées des carrés de diviseurs à 39 et 93 on trouve :

RecurrenceTable[{a[n+1]== DivisorSigma[2, a[n]] – (a[n] ^2 ) ,a[1]==39},a,{n,1,3}]

qui sort :

{39,179,1}

dont le total est 219 = 3 x 73

et pour 93 :

 

RecurrenceTable[{a[n+1]== DivisorSigma[2, a[n]] – (a[n] ^2 ) ,a[1]==93},a,{n,1,3}]

qui sort :

{93,971,1}

dont le total est 1065

même nombre d’itérations avant la convergence (n = 3) et 179 et 971 sont « en miroir »

 

Brunschvicg : orient et occident

« L’Orient, de loin, c’est quelque chose. De près, c’est beaucoup de choses, les unes que l’Occident a connues, et les autres qu’il ne connaît pas, dont l’Orient lui-même est loin d’avoir jamais pris conscience »

le début de « L’humanisme de l’Occident » de Brunschvicg :

http://classiques.uqac.ca/classiques/brunschvicg_leon/ecrits_philosophiques_t1/ecrits_philosophiques_t1.html

est en quelque sorte un prodigieux survol de 2000 ans de philosophie et de religions, qui avait été pour moi analogue à un « coup de tonnerre » (éveilleur, salvateur) lorsque je l’avais lu pour la première fois il y a bien longtemps.

Aujourd’hui, voulant prendre congé du vieux sage pour suivre mon propre route (de folie, sans doute) je ne puis trouver mieux que ce texte admirable pour « fixer l’instant et son vertige ».

Pour le dire en peu de mots : je réévalue et transforme mon rapport aux « rationaux » du 17 ème siècle (Descartes, Spinoza , Leibniz et Malebranche) en faveur du malebranchisme, alors que Brunschvicg lui choisit le spinozisme.

La seule boussole qui m’oriente peut se résumer par ce principe fondamental du malebranchisme et du cartésianisme :

« suivre uniquement les idées claires, lumineuses, évidentes, et laisser de côté les idées confuses »

facile à dire, mais quand on prend conscience que la quasi totalité de nos « idées » est constituée d’idées confuses, à un degré ou un autre…

Brunschvicg, dans cet ouvrage et bien d’autres, lit et commente Descartes, Malebranche et Spinoza, rien de plus indiqué que de commencer par étudier à fond ce qu’il dit, pour vraiment comprendre l’enjeu de ces études, qui est immense, j’en suis certain…

« La civilisation d’Occident affleure, dans l’histoire, avec l’arithmétique de Pythagore, avec la maïeutique de Socrate. Et certes, à travers les siècles de la décadence hellénistique, Pythagore et Socrate retomberont au niveau où les légendes orientales laissent leurs héros : ils deviendront maîtres de divination ou faiseurs de miracles. Cependant il suffit de savoir qu’un schisme s’est produit effectivement à l’intérieur de l’école pythagoricienne, entre acousmatiques et mathématiciens, c’est-à-dire entre traditionalistes de la fides ex auditu et rationalistes de la veritas ex intellectu, pour avoir l’assurance que, bien avant l’ère chrétienne, l’Europe a conçu l’alternative de la théosophie et de la philosophie sous une forme équivalente à celle qui se pose devant la pensée contemporaine »

« Et la même opposition, Orient et Occident pour parler un langage géographique, mais qui est aussi moyen âge et civilisation du point de vue historique, enfant et homme du point de vue pédagogique, a fait le fond de la littérature platonicienne. Quel est le rapport de la mythologie, fixée par le « Moyen âge homérique », à la dialectique issue des progrès de la mathématique ? Le problème s’est resserré sur le terrain de l’astronomie où devaient entrer en conflit, d’une façon décisive, le spiritualisme absolu de Platon et le réalisme d’Aristote. La valeur essentielle de la science, suivant Platon, est dans son pouvoir d’affranchissement à l’égard de l’imagination spatiale. Telle est la doctrine qui est au centre de la République. Selon le VIIe Livre, l’arithmétique et la géométrie ont une tout autre destinée que d’aider les marchands dans leur commerce ou les stratèges dans la manœuvre des armées ; elles élèvent l’âme au-dessus des choses périssables en lui faisant connaître ce qui est toujours ; elles l’obligent à porter en haut son regard, au lieu de l’abaisser, comme on le fait d’habitude, sur les choses d’ici-bas »

d’accord à 100 % !

seulement le spiritualisme absolu qui doit être celui du « christianisme des philosophes » se trouve, à mon avis, au plus haut point chez Malebranche, et l’affranchissement vis à vis de l’imagination spatiale qu’il exige est procuré justement par la théorie de l’étendue intelligible, « idée et archétype des corps » !

Fractran : les algorithmes de Conway

http://mathworld.wolfram.com/FRACTRAN.html

 (17)/(91),(78)/(85),(19)/(51),(23)/(38),(29)/(33),(77)/(29),(95)/(23),(77)/(19),1/(17),(11)/(13),(13)/(11),(15)/2,1/7,(55)/1

 

cette liste très simple de 14 fractions, fabriquée par J H Conway et connue sous le nom de Primegame (un des « programmes » de FRACTRAN) permet d’engendrer tous les nombres premiers !!

Il y a 19 nombres différents dans ces 14 fractions.

On commence avec 2, on le multiplie successivement par chacune des fractions jusqu’à la première qui donne un produit qui soit entier, avec 2 cette fraction est 15/2 qui donne le produit :

2 x 15/2 = 15 

s’il n’existe aucune fraction qui donne un produit entier, le processus stoppe.

puis on recommence avec le produit, qui est ici 15, etc..

Ce calcul donne la suite :

http://oeis.org/A007542

dont on prouve que les puissances de 2 qu’elle contient sont :

2, 2^2, 2^3, etc.. et toutes les puissances de 2 avec un exposant premier, dans l’ordre !!!

la démonstration de ce fait, très simple, est donnée dans ce livre, en annexe :

http://books.google.fr/books?id=hekJ7JDMEVkC&pg=PA249&lpg=PA249&dq=fractran+primegame+conway&source=bl&ots=67N1SCDhW-&sig=wydfz5Tqr5jD2QB6YMCFmR2ot2M&hl=fr#v=onepage&q=fractran%20primegame%20conway&f=false

voir aussi

 http://fr.wikipedia.org/wiki/FRACTRAN

il existe une suite à neuf fractions, qui donne aussi les nombres premiers, à travers cette suite de résultats à partir de 10:

http://oeis.org/A183132/internal

(où ce sont les exposants de 10, et non plus de 2, qui sont les nombres premiers)

Il existe aussi un algorithme Pigame donnant toutes les décimales du nombre π = 3.14159…

http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/~sillke/NEWS/fractran

« 365  29  79 679 3159  83 473 638 434  89  17  79
  46 161 575 451  413 407 371 355 335 235 209 122

  31  41 517 111 305 23 73 61 37 19 89 41 833 53
183 115  89  83  79 73 71 67 61 59 57 53  47 43

86 13 23 67 71 83 475 59  41 1  1    1  1 89
41 38 37 31 29 19  17 13 291 7 11 1024 97  1

It computes pi(n), the nth digit of pi:  0 -> 3, 1 -> 1, 2 -> 4, …
i.e. when started on 2^n the next power of 2 to appear is 2^pi(n). »