Pour trouver les facteurs premiers d’un entier (très grand, sinon c’est un excellent « footing » mental de les calculer de tête) il y a plusieurs solutions sur le web :
si l’on dispose de Mathematica la commande est (en prenant l’exemple de 666) :
FactorInteger[666]
qui sort :
{{2,1},{3,2},{37,1}}
qui se lit aisément : le premier nombre dans les {} est le facteur premier, le second est son exposant
mais il est plus pratique d’utiliser :
j’avais commencé à l’utiliser pour les grands nombres formés uniquement de chiffres 6 : 666,6666,666666, etc..
mais il est plus simple de le faire pour les nombres composés de chiffres 1, puisque les premiers sont les produits des seconds par 6.
Nous obtenons :
111 = 3 x 37
1111 = 11 x 101
11111 = 41 x 271
111111 = 3 x 7 x 11 x 13 x 37
1111111 = 239 x 4649
11111111 = 11 x 73 x 101 x 137
111111111 = 3^2 x 37 x 333667
1111111111 = 11 x 41 x 271 x 9091
111111111111 = 3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 101 · 9901 (le point signifie x , je recopie directement la sortie de factordb)
1111111111111 = 53 · 79 · 265371653
11111111111111 = 11 · 239 · 4649 · 909091 = 1111111 x 11 x 909091
111111111111111 = 3 · 31 · 37 · 41 · 271 · 2906161
1111111111111111 = 11 · 17 · 73 · 101 · 137 · 5882353
11111111111111111 = 2071723 · 5363222357
111111111111111111 = 3^2 · 7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 52579 · 333667
que suit le nombre composé de 19 chiffres 1, qui s’avère être premier (voilà qui va faire bander les islamistes obsédés par le nombre 19, comme Edip Yuksel et les autres !!)
ainsi , si l’on compte 1 à part de la suite des nombres premiers, comme c’est la tradition depuis un siècle, les deux nombres composés de chiffres 1 qui sont premiers sont , en dessous de vingt chiffres :
11 et 1111111111111111111 (19 fois 1)
quels sont ceux qui suivent et qui sont premiers aussi ?
il y a le nombre composé de 23 chiffres 1
celui de 24 chiffres a une factorisation remarquable, avec de nouveau un nombre premier composé de 9 et de 0 et de 1 :
3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 73 · 101 · 137 · 9901 · 99990001
de même celui de 36 chiffres 1, qui se factorise :
3^2 · 7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 101 · 9901 · 52579 · 333667 · 999999000001
celui composé de 38 chiffres 1 a comme facteur le nombre premier composé de 19 chiffres 1, et un autre composé de 18 chiffres qui sont uniquement des 9 , des 0 et des 1 :
11 · 909090909090909091<18> · 1111111111111111111
pour le nombre de 39 chiffres, c’est un facteur premier composé de 24 chiffres, uniquement des 9 , des 0 et des 1, qui apparaît :
3 · 37 · 53 · 79 · 265371653 · 900900900900990990990991
celui composé de 46 chiffres 1 a comme facteur le second nombre premier que nous ayions trouvé, celui composé de 23 chiffres 1 :
11 · 47 · 139 · 2531 · 549797184491917<15> · 11111111111111111111111
celui composé de 57 chiffres 1 a comme facteur celui composé de 19 chiffres 1 (et bien sûr on a aussi 57 = 3 x 19 , de même que 46 = 2 x 23 et 38 = 2 x 19) :
3 · 37 · 21319 · 10749631 · 1111111111111111111<19> · 3931123022305129377976519
de même celui de 69 chiffres se factorise par celui de 23 chiffres 1, et 69 = 3 x 23, il semble bien que l’on ait ici une loi générale, à élucider :
3 · 37 · 277 · 203864078068831<15> · 11111111111111111111111<23> · 1595352086329224644348978893
j’ai poursuivi jusqu’au nombre composé de 184 chiffres 1 pour constater qu’ aucun nombre jusque là n’est premier, après 11 et les deux nombres composés de 19 et de 23 chiffres 1 !!!
en fait, selon Sloane, le prochain qui soit premier est composé de 317 chiffres 1 :
voir aussi la suite des « repunits » :
la suite des « repunits » qui sont premiers est ici, mais sous la forme de leurs indices (sinon ils seraient évidemment trop longs) :
il est facile de montrer, et c’est fait sur la page précédente, que ces indices doivent être des nombres premiers.
voir aussi :
Apparition de l'église internelle HENOSOPHIA ενοσοφια μαθεσις uni√ersalis οντοποσοφια 