factorisation des nombres entiers

Pour trouver les facteurs premiers d’un entier (très grand, sinon c’est un excellent « footing » mental de les calculer de tête) il y a plusieurs solutions sur le web :

si l’on dispose de Mathematica la commande est (en prenant l’exemple de 666) :

FactorInteger[666]

qui sort :

{{2,1},{3,2},{37,1}}

qui se lit aisément : le premier nombre dans les {} est le facteur premier, le second est son exposant

mais il est plus pratique d’utiliser :

http://factordb.com/

j’avais commencé à l’utiliser pour les grands nombres formés uniquement de chiffres 6 : 666,6666,666666, etc..

mais il est plus simple de le faire pour les nombres composés de chiffres 1, puisque les premiers sont les produits des seconds par 6.

Nous obtenons :

111 = 3 x 37

1111 = 11 x 101

11111 = 41 x 271

111111 = 3 x 7 x 11 x 13 x 37

1111111 = 239 x 4649

11111111 = 11 x 73 x 101 x 137

111111111 = 3^2 x 37 x 333667

1111111111 = 11 x 41 x 271 x 9091

11111111111 =  21649 x  513239

111111111111 = 3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 101 · 9901  (le point signifie x , je recopie directement la sortie de factordb)

1111111111111 = 53 · 79 · 265371653

11111111111111 = 11 · 239 · 4649 · 909091 = 1111111  x  11  x  909091

111111111111111 =  3 · 31 · 37 · 41 · 271 · 2906161

1111111111111111 = 11 · 17 · 73 · 101 · 137 · 5882353

11111111111111111 = 2071723 · 5363222357

111111111111111111 = 3^2 · 7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 52579 · 333667

que suit le nombre composé de 19 chiffres 1, qui s’avère être premier (voilà qui va faire bander les islamistes obsédés par le nombre 19, comme Edip Yuksel et les autres !!)

ainsi , si l’on compte 1 à part de la suite des nombres premiers, comme c’est la tradition depuis un siècle, les deux nombres composés de chiffres 1 qui sont premiers sont , en dessous de vingt chiffres :

11 et 1111111111111111111 (19 fois 1)

quels sont ceux qui suivent et qui sont premiers aussi ?

il y a le nombre composé de 23 chiffres 1

celui de 24 chiffres a une factorisation remarquable, avec de nouveau un nombre premier composé de 9 et de 0 et de 1 :

 3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 73 · 101 · 137 · 9901 · 99990001

de même celui de 36 chiffres 1, qui se factorise :

3^2 · 7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 101 · 9901 · 52579 · 333667 · 999999000001

celui composé de 38 chiffres 1 a comme facteur le nombre premier composé de 19 chiffres 1, et un autre composé de 18 chiffres qui sont uniquement des 9 , des 0 et des 1 :

 11 · 909090909090909091<18> · 1111111111111111111

pour le nombre  de 39 chiffres, c’est un facteur premier composé de 24 chiffres, uniquement des 9 , des 0 et des 1, qui apparaît :

 3 · 37 · 53 · 79 · 265371653 · 900900900900990990990991

celui composé de 46 chiffres 1 a comme facteur le second nombre premier que nous ayions trouvé, celui composé de 23 chiffres 1 :

11 · 47 · 139 · 2531 · 549797184491917<15> · 11111111111111111111111

celui composé de 57 chiffres 1 a comme facteur celui composé de 19 chiffres 1 (et bien sûr on a aussi 57 = 3 x 19 , de même que 46 = 2 x 23 et 38 = 2 x 19) :

3 · 37 · 21319 · 10749631 · 1111111111111111111<19> · 3931123022305129377976519

de même celui de 69 chiffres se factorise par celui de 23 chiffres 1, et 69 = 3 x 23, il semble bien que l’on ait ici une loi générale, à élucider :

 3 · 37 · 277 · 203864078068831<15> · 11111111111111111111111<23> · 1595352086329224644348978893

j’ai poursuivi jusqu’au nombre composé de 184 chiffres 1 pour constater qu’ aucun nombre jusque là n’est premier, après 11 et les deux nombres composés de 19 et de 23 chiffres 1 !!!

en fait, selon Sloane, le prochain qui soit premier est composé de 317 chiffres 1 :

 http://oeis.org/A004022

voir aussi la suite des « repunits » :

http://oeis.org/A002275

la suite des « repunits » qui sont premiers est ici, mais sous la forme de leurs indices (sinon ils seraient évidemment trop longs) :

http://oeis.org/A004023

il est facile de montrer, et c’est fait sur la page précédente, que ces indices doivent être des nombres premiers.

voir aussi :

http://oeis.org/A046413

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